Trong nhũng ví dụ này, chúng ta giả sử rằng trường các số vô hướng là các số phức C, mặc dù các định nghĩa này cũng áp dụng cho trường hợpmà trường số vô hướng là các số thực R.

Không gian Euclid

Cn với định nghĩa tích vô hướng

⟨ x , y ⟩ = ∑ k = 1 n x k ¯ y k {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\overline {x_{k}}}y_{k}}

và thanh ngang trên số phức ký hiệu số phức liên hợp.

Không gian các chuỗi

Tuy vậy thường gặp hơn là các không gian Hilbert vô hạn chiều. Nếu B là một tập hợp bất kì, hữu hạn hay đếm được, chúng ta định nghĩa không gian chuỗi l2 trên B, ký hiệu bởi

ℓ 2 ( B ) = { x : B → C | ∑ b ∈ B | x ( b ) | 2 < ∞ } {\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x:B\rightarrow \mathbb {C} \,{\bigg |}\,\sum _{b\in B}\left|x\left(b\right)\right|^{2}<\infty \right\}}

Không gian này trở thành không gian Hilbert với tích vô hướng sau đây

⟨ x , y ⟩ = ∑ b ∈ B x ( b ) ¯ y ( b ) {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}{\overline {x(b)}}y(b)}

với mọi x và y trong l2(B).B cần phải là một tập đếm được trong định nghĩa này, vì nếu B là không đếm được, ta không định nghĩa được tổng vô hạn không đếm được. Nếu B không đếm được, ta yêu cầu x(b) phải bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn hay đếm được phần tử b của B. Không gian Hilbert kết quả sẽ không khả ly. Theo một nghĩa được nói chính xác sau, bất kì không gian Hilbert nào cũng isomorphic với một dạng l2(B) cho một tập B được chọn một cách thích hợp. Nếu B=N, chúng ta viết một cách đơn giản là l2.

Các không gian Lebesgue

Đây là các không gian hàm liên hệ với các không gian đo (X, M, μ), trong đó M là một đại số σ- của các tập con của X và μ là một độ đo có thể cộng được (với một số đếm được các số hạng) trên M. Gọi L2μ(X) là không gian của các hàm có giá trị phức của các hàm đo được và bình phương là khả tích trên X, modulo bằng nhau hầu như khắp nơi. Bình phương khả tích nghĩa là tích phân của bình phương của giá trị tuyệt đối của hàm số đó là hữu hạn. Modulo bằng nhau hầu như khắp nơi nghĩa là các hàm số này có thể được xác định nếu và chỉ nếu chúng bằng nhau bên ngoài một tập có độ đo bằng 0.

Tích vô hướng của các hàm số f và g ở đây được cho bởi

⟨ f , g ⟩ = ∫ X f ( t ) ¯ g ( t )   d μ ( t ) {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\ d\mu (t)}

Ta cần chúng minh:

• Rằng tích phân này là có nghĩa;
• Không gian kết quả là toàn vẹn.

Đây là những tính chất kỹ thuật, và người đọc nếu thích chi tiết có thể xem cuốn sách viết bởi Halmos liệt kê bên dưới, Chương 42. Lưu ý rằng việc sử dụng tích phân Lebesgue bảo đảm rằng không gian này là toàn vẹn. Xem Không gian Lp cho các thảo luận thêm về ví dụ này.

Các không gian Sobolev

Không gian Sobolev, ký hiệu là H s {\displaystyle H^{s}} hay W s , 2 {\displaystyle W^{s,2}} , là các ví dụ khác của các không gian Hilbert, và thường được sử dụng trong lãnh vực các phương trình đạo hàm riêng.